Составляющие временного ряда
При анализе временного ряда выделяют три составляющие: тренд, сезонность и шум. Тренд — это общая тенденция, сезонность, как следует из названия — влияния периодичности (день недели, время года и т.д.) и, наконец, шум — это случайные факторы.
Что бы понять отличие этих трёх величин, смоделируем функцию расстояния от земли до луны. Известно, что в среднем луна каждый год отдаляется на 4 см — это тренд, в течение дня луна совершает оборот вокруг земли и расстояние колеблется от
405400 км — это сезонность. Шум — это «случайные» факторы, например, влияние других планет. Если мы изобразим сумму этих трёх графиков, то мы получим временной ряд — функцию, показывающую изменение расстояния от земли до луны во времени.
Тренд. Методы сглаживания
Методы сглаживания необходимы для удаления шума из временного ряда. Существуют различные способы сглаживания, основные — это метод скользящей средней и метод экспоненциального сглаживания.
Идея метода скользящего среднего заключается в смещении точки графика на среднее значение некоторого интервала. В качестве интервала берут нечётное количество участков, например, три — предыдущий, текущий и следующий периоды, находится среднее и принимается в качестве сглаженного значения:
У данного метода есть проблема: случайное высокое или низкое значение сильно влияют на скользящую линию. В качестве решения были введены веса. Для распределение веса используют оконные функции, основные оконные функции — это окно Дирихле (прямоугольная функция), В-сплайны, полиномы, синусоидальные и косинусоидальные:
Минусы использования скользящей средней — это сложность вычислений и некорректные данные на концах графика.
| Исходные данные | Скользящая средняя | Взвешенная скользящая средняя (синусоидальное окно, n=5) | Взвешенная скользящая средняя (окно Ганна, n=5) |
| 800 | 839 | 283 | |
| 878 | 959 | 474 | 400 |
| 1200 | 951 | 573 | 439 |
| 926 | 1128 | 619 | 600 |
| 1508 | 1217 | 710 | 463 |
| 1235 | 1360 | 759 | 754 |
| 1772 | 1579 | 889 | 618 |
| 1801 | 1508 | 980 | 886 |
| 1224 | 1728 | 980 | 901 |
| 2114 | 1845 | 998 | 612 |
| 2240 | 2068 | 1141 | 1057 |
| 2692 | 2037 | 1410 | 1120 |
| 1100 | 2066 | 1263 | 1346 |
| 2230 | 1986 | 1145 | 550 |
| 1920 | 1659 | 1091 | 1115 |
| 1385 | 1720 | 1119 | 960 |
| 1344 | 2000 | 923 | 693 |
| 3350 | 2125 | 1173 | 672 |
| 2420 | 2891 | 1503 | 1675 |
| 4448 | 3406 | 2645 | 1210 |
| Таблица 1. Сглаживание методом скользящей средней | |||
Как видно из графика, увеличение n выдаёт более плавную функцию, таким образом нивелируя более мелкие колебания во временном ряду. Обратите внимание, что при сглаживании не имеет значения, совпадает график среднего с графиком данных или нет, целью является построение правильной формы.
Метод экспоненциального сглаживания получил своё название потому, что в сглаженной функции экспоненциально убывает влияние предыдущего периода с неким коэффициентом чувствительности α. Сглаженное значение находится как разница между предыдущим действительным значением и рассчитанным значением:
Коэффициент чувствительности, α, выбирается между 0 и 1, в качестве базиса используют значение 0,3. Если есть достаточная выборка, то коэффициент подбирается путём оптимизации.
| Исходные данные | Экспоненциальное сглаживание, α=0,1 | Экспоненциальное сглаживание, α=0,6 | |
| 800 | 800 | 800 | |
| 878 | -640 | 160 | |
| 1200 | 664 | 463 | |
| 926 | -478 | 535 | |
| 1508 | 523 | 342 | |
| 1235 | -320 | 768 | |
| 1772 | 412 | 434 | |
| 1801 | -194 | 890 | |
| 1224 | 355 | 725 | |
| 2114 | -197 | 444 | |
| 2240 | 389 | 1091 | |
| 2692 | -126 | 908 | |
| 1100 | 383 | 1252 | |
| 2230 | -235 | 159 | |
| 1920 | 435 | 1274 | |
| 1385 | -200 | 642 | |
| 1344 | 319 | 574 | |
| 3350 | -153 | 577 | |
| 2420 | 473 | 1779 | |
| 4448 | -184 | 740 | |
| Таблица 2. Экспоненциальное сглаживание | |||
Методы прогнозирования
Методы прогнозирования основываются на выявлении тенденции во временном ряду и последующем использовании найденного значения для предсказания будущих значений. В методах прогнозирования выделяют тренд и сезонность, в общем случае, все типы сезонности могут быть найдены последовательными итерациями. Например, при анализе данных за год, можно выделить сезонность времени года, а в оставшемся тренде найти сезонность по дням недели и так далее.
Двойное экспоненциальное сглаживание выдаёт сглаженное значение уровня и тенденции.
Smooth — сглаживание, сглаженный уровень на период τ, sτ, зависит от значения уровня на текущий период (Dτ), тренда за предыдущий период (tτ-1) и рассчитанного сглаженного значения на предыдущий период (sτ-1):
sτ = αDτ + (1 — α)(sτ-1 + tτ-1)
Trend — тенденция, тренд на период τ, tτ, зависит от рассчитанного сглаженного значения за предыдущий и текущий периоды (sτ и sτ-1) и от предыдущей тенденции:
tτ = β(sτ-sτ-1) + (1-β)tτ-1
Рассчитанные по данным формулам уровень и тренд могут быть использованы в прогнозировании:
D’τ+h = sτ + h·tτ
При расчёте, значения s и t для первого периода назначают s1 = D1 и t=0
Метод Хольт-Винтерса включает в себя сезонную составляющую, т.е. периодичность. Существуют две разновидности метода — мультипликативный и аддитивный. В отличие от двойного экспоненциального сглаживания, метод Хольт-Винтерса изучает также влияние периодичности.
Общая идея нахождения значений сглаженного уровня, тренда и периодичности заключается в следующем: сглаженный уровень (s — smooth, иногда используют l — level) — это базовый уровень значений, тренд (t — trend) — это показатель скорости роста, разница между сглаженными значениями текущего и предыдущего периода. Для изучения периодичности (p — period), мы разбиваем данные на периоды размером k и выделяем влияние каждого элемента (1,2. k) периода на сглаженный уровень.
Для более точных расчётов вводится показатель обратной связи. В общем понимании, обратная связь — это влияние предыдущих значений на новые: например, когда Вы начинаете говорить, Вы регулируете громкость своего голоса в зависимости от того, что слышат Ваши уши — это и есть обратная связь.
Для начала расчётов, значения s, t и k, в самом простом виде, могут быть выбираны как sτ = Dτ, t = 0, p = 0.
Для прогнозирования используется следующая формула:
Мультипликативный метод отличается от аддитивного тем, что параметры, влияющие на периодичность и сглаженный уровень рассчитываются отношением:
Для прогнозирования используется следующая формула:
Таблица для скачивания в форматах ods и xls.
Качество прогнозирования
Проверка качества прогнозирования возможна в случае наличия достаточной выборки и является важной проверкой на достоверность прогноза, для проверки и оптимизации значений α, β и γ необходимо построить прогноз на существующие данные, например, если у нас в наличии данные за пять лет и мы хотим предсказать следующий год, то необходимо построить модель на первых четырёх годах, проверить и оптимизировать коэффициенты для минимизации ошибки между прогнозом и данными на 5й год. После оптимизации модель может быть перестроена с учётом последнего периода для повышения точности, далее следует построение прогноза.
Методы оптимизации будут описаны в отдельной статье, ниже представлен пример прогнозирования методом Хольт Винтерса.
Временной ряд хt (t=1; n) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка rt,t-1, если L=2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка rt,t-2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг ( L ), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.
- Если наиболее высоким оказывается значение коэффициента автокорреляции первого порядка rt,t-1, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
- Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции rt,t-L порядка L , то ряд содержит колебания периодом L .
- Если ни один из rt,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:
| 1993 | 1994 | 1995 | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 |
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| хt | — | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 | rt,t-1=0,537 |
| xt-1 | — | 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | |
| хt | — | — | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 | rt,t-2=0,085 |
| хt-2 | — | — | 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | |
| хt | — | — | — | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 | rt,t-3=0,445 |
| хt-3 | — | — | — | 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | |
| хt | — | — | — | — | 520 | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 | rt,t-4=0,990 |
| хt-4 | — | — | — | — | 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 | 670 | |
| хt | — | — | — | — | — | 740 | 975 | 670 | 705 | 950 | 1200 | 900 | rt,t-5=0,294 |
| хt-5 | — | — | — | — | — | 410 | 560 | 715 | 500 | 520 | 740 | 975 |
Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7
| Лаг (порядок) – L | rt,t-L | Коррелограмма |
| 1 | 0,537 | **** |
| 2 | 0,085 | * |
| 3 | 0,445 | *** |
| 4 | 0,990 | ***** |
| 5 | 0,294 | ** |
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. rt,t-1=0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. rt,t-4=0,99 →1).
| Номер сезона | Год 1 | Год 2 | Год 3 | Средняя оценка сезонной составляющей | Скорректированная оценка сезонной составляющей Si |
| 1 | — | -66,67 | -70,00 | -68,33 | -67,15 |
| 2 | -1,67 | -5,00 | -1,67 | -2,78 | -1,60 |
| 3 | 123,33 | 180 ,00 | 183,33 | 162,22 | 163,40 |
| 4 | -78,33 | -113,33 | — | -95,83 | -94,66 |
| Итого | -4, 72 |
Самым распространенным и доступным способом прогнозирования является экстраполяция, т. е. распространение тенденций, сложившихся в прошлом, на будущее на основе анализа временных рядов. Временным рядом (динамическим рядом, трендом) называется последовательность значений статистического показателя (признака) в хронологическом порядке, т. е. в порядке возрастания временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.
Сложившиеся объективные тенденции изменения экономических показателей, особенно если наблюдается некоторая инерционность рыночных процессов, предопределяют их величину в будущем. Прогнозирование на основе анализа временных рядов предполагает, что происходившие изменения в объемах продаж могут быть использованы для определения этого показателя в последующие периоды времени. Временные ряды обычно служат для расчета следующих типов изменений показателей: трендовых, сезонных, циклических и случайных.
Выявление основной тенденции развития называется выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции — методами выравнивания. Один из распространенных приемов обнаружения тренда как изучаемого явления — укрупнение интервала динамического ряда, которое представляет собой преобразование ряда в большие по продолжительности периоды времени.
Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем постепенным передвижением от начального уровня временного ряда на одно значение: i-й период, далее периоды i +1, i +2 ит. д. По сформированным укрупненным данным рассчитываются скользящие средние, которые относятся к середине укрупненного интервала.
Изучение тенденции развития методом скользящей средней является эмпирическим приемом предварительного исследования. Для того чтобы создать количественную модель изменений динамического ряда, используется метод аналитического выравнивания. Фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по определенной кривой, отражающей общую тенденцию изменения показателей во времени. Таким образом, уровни динамического ряда рассматриваются как функция времени.
Оценки параметров находятся методом наименьших квадратов. Все приведенные функциональные модели допускают линеаризацию, т. е. могут быть сведены в общем случае к линейной регрессионной модели либо преобразованием переменных, либо логарифмированием самой функциональной зависимости.
Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки.
Для оценки надежности построенного уравнения используют коэффициенты корреляции R и детерминации R 2 исследуемого варианта зависимости, полученной по регрессионному уравнению. Коэффициент корреляции может изменяться от -1 до +1, коэффициент детерминации — от 0 до 1. Возможны случаи, когда даже не обоснованная логически или экономически модель регрессии дает высокое значение коэффициентов R и R 2 . Поэтому для оценки уравнения модели целесообразно привлекать также ряд других диагностических показателей.
Основной особенностью прогнозирования по временным рядам является необходимость большого объема статистических наблюдений. И даже при наличии репрезентативной информации высокая степень адекватности результатов трендовых прогнозов фактическим данным не всегда соответствует ситуациям, характеризующимся неизменностью потребительских вкусов, действий конкурентов, ценовой политики и других составляющих рыночной ситуации, когда изменение анализируемых показателей в доминирующей степени формируется под воздействием основных рыночных тенденций и фактора инерционности рыночной системы. В остальных случаях степень совпадения фактических и прогнозируемых с помощью данного метода объемов продаж недостаточно объективна.
Каждый динамический ряд содержит два элемента:
- 1) значения времени;
- 2) соответствующие им значения уровней ряда.
В качестве показателя времени в динамических рядах могут указываться либо определенные моменты времени (даты), либо отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, полугодия, годы и т. д.). В зависимости от характера временного параметра ряды подразделяются на моментные и интервальные.
В моментных динамических рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются динамические ряды цен на определенные виды товаров, ряды курсов акций, фиксированных для конкретных периодов. К моментным динамическим рядам также относятся ряды численности населения или стоимости основных фондов, значения уровней которых определяются на определенную дату.
В интервальных динамических рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды (интервалы) времени, например, динамические ряды годового (месячного, квартального) производства продукции.
Уровни динамических рядов могут представлять собой абсолютные, относительные и средние величины. Если уровни ряда представляют не непосредственно наблюдаемые, а производные значения (средние или относительные), то такие ряды называются производными. Уровни этих рядов рассчитывают на основе абсолютных показателей (ряд среднесуточного производства продукции или продаж товара).
Важной особенностью интервальных рядов абсолютных величин является возможность их суммирования. Общий итог характеризует накопленные итоги, исключающие повторность счета.
Пример. ВI квартале выпущено 30 т продукции, во II квартале — 35 т; в итоге за полугодие — 65 т.
Суммирование уровней моментного динамического ряда не практикуется, так как лишено экономического смысла.
Пример. В I квартале на предприятии числилось 100 чел.; во II квартале — 100 чел.; в итоге за полугодие также 100 чел.
При выборе интервалов удобнее использовать равностоящие друг от друга уровни ряда. При укрупнении интервала можно упустить существенные закономерности в изменении показателя. Так, по квартальным данным трудно судить о месячных колебаниях.
Для правильного отражения временным рядом реального процесса развития необходима сопоставимость уровней. Из-за различной методики расчета, терминологии и т. д. неправомерно проводить исследование несопоставимых величин. Например, несопоставимо складывать рубли и доллары без соответствующего пересчета курса валюты.
Чаще всего несопоставимость проявляется в стоимостных показателях, что вызвано изменением цен в разные периоды времени, поэтому на практике осуществляют пересчет в сопоставимые цены (цены одного периода). Несопоставимость может возникнуть вследствие территориальных изменений, например как результат изменения границ области, района, страны.
Используемая в статистической практике процедура приведения уровней динамического ряда к сопоставимому виду с помощью дополнительных расчетов получила название «смыкание динамических рядов ”.
Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину (с учетом конкретных целей исследования). Например, при изучении периодических колебаний нужна информация не менее чем за три полных периода колебания. Поэтому при анализе сезонных колебаний на базе динамических рядов за месяц или квартал желательно иметь информацию не менее чем за 3 года.
Применение математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуются временные ряды, длина которых минимум в 5—6 раз превышает количество независимых переменных.
На практике для количественной оценки изменения явлений применяются следующие аналитические показатели: цепные, базисные, средние абсолютные приросты, темпы роста и прироста.
В основе расчета показателей динамического ряда лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то данный период называют базисным. В качестве базы сравнения выбирается либо начальный уровень динамического ряда, либо уровень, с которого начинается новый этап развития.
Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней и характеризует величину изменения показателя за определенный промежуток времени. Если сравнение осуществляется при переменной базе и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.
Цепной абсолютный прирост (Ayt) определяется вычитанием из значения текущего уровня временного ряда (yt) значения предыдущего уровня (ум): Ayt = yt — yt_r
Пример. В I квартале выпущено 30 т; во II квартале — 35 т; в III квартале — 40 т.
Средний абсолютный прирост является обобщающей характеристикой скорости (прирост в единицу времени) изменения исследуемого показателя во времени:
где п — количество периодов (квартал, месяц и проч.).
Описание ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки.
Темп роста характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, как правило, выраженное в процентах.
Цепной темп роста Tt рассчитывается из отношения текущего уровня к предыдущему:
Темп роста всегда положителен. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось; если меньше 100%, то значение уровня понизилось; больше 100% — повысилось.
Средний темп роста Т показывает, сколько процентов последующий уровень составляет в среднем от предыдущего в периоде наблюдения. Показатель рассчитывается по формуле среднего геометрического из цепных темпов роста:
1) в процентах: 
2) в единицах: 
Пример. Темп роста в I квартале — 110%; во II квартале — 115%. Средний темп роста Vl 10 • 115 = 112,5%.
Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Темп прироста в процентах показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста — выраженное в процентах отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.
Цепной темп прироста Kt (%) может быть представлен в виде:
Например, 
С помощью среднего темпа прироста можно рассчитывать простейшие прогнозные оценки исследуемых показателей:
где L — период прогнозирования.
Пример. В 1-й год продано 300 т; в 3-й год — 350 т.
Применение среднего темпа роста (прироста) для описания динамического ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Использование этого показателя целесообразно только для тех процессов, изменение динамики которых происходит с примерно постоянным темпом роста.
Состав временных рядов. Значения уровней временных рядов кроме тренда могут содержать ряд составных частей или структурообразующих элементов: сезонную и циклическую компоненту; случайную составляющую.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах в форме тренда имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические или социальные условия. При периоде колебания больше года во временных рядах имеет место циклическая составляющая.
При удалении из временного ряда тренда и периодических составляющих формируется случайная компонента:
- 1) резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, эпидемии, война, кризис и др.), вызывающая значительные отклонения, включая катастрофические последствия;
- 2) текущего воздействия, вызывающая случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.
Сглаживание временных рядов по простой скользящей средней. Скользящие средние позволяют сгладить случайные и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда. Основные этапы сглаживания по простой скользящей средней представлены на рис. 2.4.
На первом шаге необходимо определить длину интервала сглаживания I, за которую для выделения середины интервала принимается нечетное число, например 3, 5 и т. д.
Затем рассчитывается значение центрального уровня интервала сглаживания временного ряда:
где у — значение центрального уровня интервала сглаживания временного ряда;
р — уровень центрального участка интервала сглаживания (р = 1,2 т. е. для 3-дневной скользящей средней 2р + 1 = = 2-1 + 1).
Рис. 2.4. Модель сглаживания по простой скользящей средней
При этом важно иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер (табл. 2.7).
Расчет скользящих средних
Порядковый номер суток
Объем продаж у(, млн руб.
Скользящее среднее интервала центрированного уровня (у,)
Анализ временных рядов (АВР) – простейший метод восстановления зависимости в детерминированном случае, исходя из заданного временного ряда. Основная задача – экстраполяция (прогноз) – самый постой способ прогноза рыночной ситуации. Суть его – распространение тенденций, сложившихся в прошлом и будущем.
Многие рыночные процессы обладают инертностью, что учитывают при прогнозах. На определенный период следует максимально принимать во внимание вероятность изменения условий функционирования рынка. Делается предположение, что система эволюционирует в достаточно стабильных условиях. Чем система крупнее, тем вероятнее сохранение параметров без изменения, но не на большой срок. Рекомендуется, чтобы период прогноза не превышал 1/3 длительности исходной временной базы.
Временной ряд – серия числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени Основное положение, на котором базируется использование временных рядов на предприятии – факторы, влияющие на отклик изучаемой системы, действующие в прошлом, настоящем и подобным образом будут действовать в недалеком будущем.
Цель анализа – оценка и выделение факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы и выработки рациональных УР. Прогноз на основе АВР – краткосрочный, в отношении периода, которого принимается, характеристики изучаемого явления существенно не изменяются. Большинство прогнозных ошибок связано с тем, что прогноз предполагает сохранение прошлых тенденций в будущем. Эта гипотеза редко оправдывается в экономической и общественной жизни.
ВР могут стать плохой основой для разработки прогноза, поэтому методы прогнозирования и АВР применяют для краткосрочного прогнозирования достаточно стабильных и хорошо изученных процессов. Прогнозируемый период не превышает 25-30% исходной временной базы. При использовании уравнения регрессии прогнозные расчеты проводят для оптимистических и пессимистических оценок исходных параметров. Отсюда получают 2 вида прогнозов: оптимистический и пессимистический. Прогнозную оценку, получаемую на основе методов прогнозирования, используют как индикатор желаемой величины прогнозного параметра.
ВР включает в себя:
1) тренд – показывает общий тип изменений, долгосрочного уменьшения и увеличения ряда,
2) сезонные колебания – колебания вокруг тренда, которые возникают на регулярной основе.
Обычно регулярные колебания возникают в период до года. Могут отслеживаться при ежеквартальных, ежемесячных, еженедельных и т.д. наблюдениях.
3) циклические колебания – возникают в периоды свыше года. Часто присутствуют в финансовых данных и связаны с резким спадом, бурным ростом и периодом застоя.
4) случайные колебания – непредсказуемые колебания в большинстве реальных ВР.
Требования к данным временного ряда
Все методы прогнозирования используют математическую статистику, поэтому необходимо, чтобы все данные были сопоставимы, достаточно представлены для проявления закономерности однородные и устойчивые. Невыполнение одного из этих требований делает бессмысленным применение математической статистики.
1. Сопоставимостьдостигается в результате одинакового подхода, к наблюдениям на разных этапах формирования временного ряда. Данные во временных рядах должны выражаться в одних и тех же единицах измерениях, иметь одинаковый шаг наблюдений, рассчитываться для одного и того же интервала времени по одной и той же методике, охватывать одни и те же элементы, принадлежащие одной территории и относящиеся к неизменной совокупности.
Несопоставимость данных чаще всего проявляется в стоимостных показателях. Даже в тех случаях когда значения этих показателей фиксируются в неизменных ценах. Такого рода несопоставимость временных рядов невозможно устранить чисто формальными методами.
2. Представительность данных характеризуется, прежде всего, полнотой представленных данных. Достаточное число наблюдений определяется в зависимости от цели проводимого исследования. Если целью является описательный статистический анализ, то в качестве изучаемого интервала времени можно выбрать любой интервал по своему усмотрению. Если же цель исследования — построение модели прогнозирования, то число данных исходного временного ряда должно не менее чем в 3 раза превышать период прогноза и не должно быть менее 7 данных. В случае использования квартальных или месячных данных для исследования сезонности и прогнозирования сезонных процессов, исходный временной ряд должен содержать квартальные либо месячные данные не менее чем за 4 года, даже если прогноз требуется на 1 или 2 месяца.
3.Однородность – отсутствие нетипичных аномальных наблюдений, а так же изломов тенденций (изменение). Аномальность приводит к смещению оценок и как следствие к искажению результатов анализа. Формально аномальность проявляется как сильный скачок или спад с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные стандартные критерии.
4. Устойчивость– это свойство отражает преобладание закономерности над случайностью в изменениях уровня и ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность. А на графиках неустойчивых временных рядов – изменения представлены хаотично. Поэтому поиск закономерностей в таких временных рядах не имеет смысла.
Модели временных рядов
Статистические методы исследования исходят из предположения возможности представления значений временного ряда в виде комбинации нескольких компонентов, отражающих закономерность и случайность развития. В частности для краткосрочных прогнозов применяется аддитивная (адаптивная) и мультипликативная модели.
1. Адаптивная (аддитивная)
t — номер временного интервала
T(t) – тренд развития (долговременная тенденция)
S(t) – сезонная компонента
Е(t) – остаточная компонента
При односильном постоянстве амплитуды сезонной волны целесообразно использовать аддитивную модель. При изменении амплитуды сезонной волны соответствие с тенденцией среднего уровня используется мультипликативная модель. Иногда используются модели смешанного типа, они дают более точный результат, но содержательно плохо интерпретируются. Применение мультипликативной модели обусловлено тем что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Практика показывает что случаи, когда сезонные колебания исследуемого процесса велики и не очень стабильны, мультипликативная модель дает плохие результаты. Сезонная компонента характеризует устойчивые и внутригодичные колебания уровней – она проявляется в некоторых показателях представленных квартальными или месячными данными.
В моделях с аддитивной и мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинаковая.
1) расчет значений сезонной компоненты
2) вычитание сезонной компоненты из фактических значений – этот процесс называется десезонализации (устранение сезонности)
3) расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями
4) расчет среднего отклонения или средней квадратической ошибки
В прогнозировании также применяются модели кривых роста.
Кривые роста – математические функции предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.
Для описания кривых роста используются следующие функции
1. Прямая Y(t) = a+bt
2. Парабола Y(t) = a+bt =ct 2
3. Гипербола Y(t) = a +b/t
7. Кривая Джонсона
8. Модифицированная экспонента
Сглаживание временных рядов
Выявление основной тенденции развития называется выравниванием или сглаживание временного ряда. Методы выявления основной тенденции – это методы выравнивания.
Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – это укрупнение интервала динамического ряда. Для выявления тенденций развития используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания. Оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания. И именно в корректном выборе параметров проявляется интуиция исследователя.
Метод скользящего среднего – крайне субъективен и на результаты сглаживания сильно влияет длина периода сглаживаний. При небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту. При больших периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.
Скользящая средняя порядка L – это временной ряд состоящий из среднеарифметических и среднеарифметических L в соседних значениях функции Y по всем возможным значениям времени. В качестве L – нечетное число, 3, 5,7 — трехточечные, пятиточечные и семиточечные.
Трехточечная схема: среднее значение будет рассчитываться по 3м значениям Yi, одно из которых относится к прошлому периоду, второе к искомому и 3 к будущему периоду. При i = 1 не существует прошлого значение, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. При i = 2 то среднее значение будет средним арифметическим.
В последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому.
Метод экспоненциального сглаживания – в отличие от скользящего среднего может быть использован для краткосрочным прогнозов в будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом перед предыдущим.
Алгоритм расчета сглаженных значений в любой точке ряда основан на 3х величинах: наблюдаемом значении Yi в данной точке, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда и некоторым заранее заданным коэффициентам сглаживания, постоянным по всему ряду.
Yi –фактическое значение итой точки ряда.
Сглаженное значение для предшествующей точки ряда — (альфа-1)
Альфа может принимать любые значения от 0 до1, но обычно на практике ограничиваются интервалом от 0,2 до 0.5
— Lt – сглаженная величина на текущий период;
— k – коэффициент сглаживания ряда;
— Yt – текущие значение ряда (например, объём продаж);
— Lt-1 – сглаженная величина за предыдущий период;
— Tt-1 – значение тренда за предыдущий период.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском: